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§3.函数极限

一、函数极限的概念

（一）函数极限的定义

1.$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}f(x) =A$

定义1：设$f(x)$在 $[a,+\infin)$ 上有定义，（$a$是某个常数），$A$是一个确定的常数，若$\forall\epsilon>0$，$\exist X>0$，当$x>X$的一切实数时，都有$\mid f(x)-A\mid <\epsilon$，称$f(x)$ 趋于正无穷大时的极限为$A$，记作：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}f(x) =A $$

或者

$$ f(x)\rightarrow A(x \rightarrow +\infin) $$

2.$\lim\limits_{n\rightarrow-\infty}f(x) =A$

定义2：设$f(x)$在$（-\infin,a]$ 上有定义，（$a$是某个常数），$A$是一个确定的常数，若$\forall\epsilon>0$，$\exist X > 0$，当 $x<-X$ ，都有 $\mid f(x)-A\mid <\epsilon$ ，称$f(x)$ 趋于负无穷大时的极限为$A$，记作：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow-\infty}f(x) =A $$

或者

$$ f(x)\rightarrow A(x \rightarrow -\infin) $$

3.$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x) =A$

定义3：设$f(x)$在$（-\infin,a]\bigcap [b,+\infin)(a \leq b, a,b$均为常数$)$ 上有定义，$A$是一个确定的常数，若$\forall\epsilon>0$，$\exist X > 0$，，当$\mid x\mid>X$，（ $x<-X$ 或 $x>X$），都有 $\mid f(x)-A\mid <\epsilon$ ，称$f(x)$ 当$x$趋于无穷大时极限为$A$，记作：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x) =A $$

或者

$$ f(x)\rightarrow A(x \rightarrow \infin) $$

==注意：==$x\rightarrow x_0$表明的是一个趋势 ,$x\in\biguplus(x_0) ,x\neq x_0$

4.$\lim\limits_{n\rightarrow x_0}f(x)=A$

定义4：若$\exist\delta_0 >0 ,f(x)$在$\biguplus(x_0,\delta_0)$中有定义，对于$\forall \epsilon>0,\exist\delta >0(\delta\leq\delta_0)$，当$0<\mid x-x_0\mid<\delta$时，都有$\mid f(x)-A\mid<\epsilon$，称$f(x)$当$x$趋向于$x_0$时的极限为$A$，记作：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow x_0}f(x)=A $$

或者：

$$ f(x)\rightarrow A(x \rightarrow x_0) $$

5.$\lim\limits_{n\rightarrow x_0^+}f(x)=A$

定义5：设$\exist\delta_0>0,f(x)$在$\biguplus_+(x_0,\delta_0)(x\in (x_0,x_0+\delta_0))$中有定义,$A$是一个确定的常数，对于$\forall\epsilon>0, \exist\delta>0(\delta\leq\delta_0),$当$x_0<x<x_0+\delta$，都有$\mid f(x)-A\mid<\epsilon$，称$f(x)$当$x$趋于$x_0$的右极限是A，记作：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow x_0^+}f(x)=A = f(x_0+o)=f(x_0^+) $$

6.$\lim\limits_{n\rightarrow x_0^-}f(x)=A $

定义6：设$\exist\delta_0>0,f(x)$在$\biguplus_-(x_0,\delta_0)(x\in (x_0-\delta_0,x_0))$中有定义$,A$是一个确定的常数，对于$\forall\epsilon>0,\exist \delta>0(\delta\leq\delta_0),$当$x_0-\delta<x<x_0$，都有$\mid f(x)-A\mid<\epsilon$，称$f(x)$当$x$趋于$x_0$的左极限是A，记作：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow x_0^-}f(x)=A = f(x_0-o)=f(x_0^-) $$

（二）函数极限的几何意义

（三）定理

==定理1.1==：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f(x)=A$ 的充要条件是$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow-\infty} f(x)=A$ 。

==定理1.2==：$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x)=A$ 的充要条件是$\lim\limits_{n\rightarrow x_0^+} f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow x_0^-} f(x)=A$ 。

==定理1.3==：$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x)=A\geq 0$，则 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{A}$

（四）重要极限

(1). $\lim\limits_{n\rightarrow-\infty} \frac{1}{x^k}=0(k>0,k为常数)$

(2).$\lim\limits_{n\rightarrow 0} \frac{1}{x^k}=+\infin(k>0,k为常数)$

二、函数极限的性质

以$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f(x)$为例，($x_0$为常数)

（一）唯一性

若$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x)$存在，则极限必唯一。

（二）局部有界性

若$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =a$，则$\exist\delta_0>0$，当$x\in \biguplus(x_0,\delta_0)$时，$\mid f(x)\mid \leq M$。

（三）不等式性质1

若$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =A$，$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} g(x) =B$，且$A<B$，则$\exist \delta_0>0$，当$0<\mid x-x_0\mid<\delta_0$，时，有$f(x)<g(x)$。

即：==谁的极限大，充分靠近$x_0$，谁的函数值就大。==

==推论==

（保正号）

若$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =A>0$，对任何常数$0<\eta<A$，$\exist\delta>0$，当$0<\mid x-x_0\mid<\delta$,都有$f(x)>\eta>0$。

（保负号）

若$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =A<0$，对任何常数$A<\eta<0$，$\exist\delta>0$，当$0<\mid x-x_0\mid<\delta$,都有$0>\eta>f(x)$。

（四）不等式性质2

若$\delta_0>0$，当$0<\mid x-x_0\mid<s_0$时，都有$f(x)\leq g(x)$，且$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) =A,\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x) =B$，则$A\leq B$

==注意：结论中的$\leq$中的等号不能去掉。==

（五）极限的四则运算

若$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =A,\lim\limits_{n\rightarrow x_0} g(x) =B$,（两个极限都需要存在）则：

$$ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} (f(x)\pm g(x))=A \pm B\\ $$

$$ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} (f(x)* g(x))=A * B $$

特别的：

$$ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} (c* g(x))=c*\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=c * B $$

$$ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B} $$

该结论可以推广到有现象，但不能推广到无限项。

务必注意，两个极限都必须存在，否则结果过程都是错的。

三、海涅定理（归结原则）

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)$存在的充要条件是：$\forall \{x_n\}\in\biguplus(x_0)$，且$\lim\limits_{n\rightarrow \infin } x_n = x_0$,则$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x_n)$的极限存在且相等。

在一般情况下，直接用这个定理很难用，所以我们通常使用其否命题。

推论（常用）：若$\exist\{x_n'\},\{x_n''\}\in\biguplus(x_0)$，且$\lim\limits_{x\rightarrow\infin} x_n'=x_0,\lim\limits_{x\rightarrow\infin} x_n''=x_0$,

• 有$\lim\limits_{n\rightarrow \infin} f(x_n')=B,\lim\limits_{n\rightarrow \infin} f(x_n'')=C$且$B\neq C$
• 或者$\exist\{x_n'\}\in\biguplus(x_0)$，且$\lim\limits_{n\rightarrow \infin} f(x_n)$不存在，

则$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)$ 不存在。

概括来说：①函数的一个$\{x_n\}$极限不存在，②或者两个$\{x_n\}$极限不相等，这时我们说这函数极限不存在。

四、无穷小量、无穷小量阶的比较、无穷大量

（一）概念

定义1（无穷小量的定义）：若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=0$，称$f(x)$当$x$趋于$x_0$时是无穷小量。

例：$\lim\limits_{n\rightarrow \infin} \frac{1}{x}=0$称$\frac{1}{x}$当$x \rightarrow\infin$是无穷小量。，不能直接说$\frac{1}{x}$是无穷小量。

定义2（有界量的定义）：$\exist \delta_0>0,\exist M>0$当$x\in\biguplus(x_0.\delta_0)$时，都有$\mid f(x)\mid\leq M$（常数），即$f(x)在\biguplus(x_0,\delta_0)$有界，称$f(x)$当$x\rightarrow x_0 $是有界量。

$f(x)$是有界函数$ \Rightarrow f(x)$是有界量。 ==反之不成立。==

定义3（无穷大量的定义）：设$f(x)$在$\biguplus (x_0,\delta_0)$上有定义，$\forall M>0,\exist\delta>0(\delta<\delta_0)$，当$0<\mid x-x_0\mid<\delta$时，都有$\mid f(x)\mid>M$，称$f(x)$当$x\rightarrow x_0$时是无穷大量，记作$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=\infin$

（二）定理

若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=A$（常数）$\Leftarrow\Rightarrow $ $f(x)=A+\alpha(x)$，其中，$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\alpha(x)=0$

若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=\infin$，则$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=0$（条件隐含$f(x)$不为0）

若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=0$，$\exist\delta_0>0,x\in\biguplus(x_0,\delta_0)时,f(x)\neq0$，则$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=\infin$

（三）性质

• 无穷小量

性质1：有限个无穷小量之和仍是无穷小量。（无限个项不成立）

性质2：有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

性质3：有界量($sinx$)与无穷小量之积仍是无穷小量。

推论：有界函数与无穷小量之积仍是无穷小量。

• 无穷大量

性质4：两个无穷大之和不一定是无穷大。（但同号除外）

例：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow \infin} n=+\infin,\\ \lim\limits_{n\rightarrow \infin} (-n)=-\infin\\ \lim\limits_{n\rightarrow \infin} [n+(-n)]=0 $$

性质5：有限个无穷大之积仍是无穷大。

性质6：有界量与无穷大量之和仍未无穷大量

推论：有界函数与无穷大量之和仍是无穷大量

性质7：若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=\infin,\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=C(常)(C\neq 0)$，则$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)g(x)=\infin$

性质8：若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=C(常),(C\neq 0),\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=0$，则$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac {f(x)}{g(x)}=\infin$

性质9：若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)$极限不存在，$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=C(C\neq0)$（C为常数），则$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)g(x)$不存在

（四）无穷小量阶的比较

参考：无穷小量阶的比较

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=0,\lim\limits_{x\rightarrow g_0} f(x)=0$

1.若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0$，称$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小量，记作

$$ f(x)=o(g(x))(x\rightarrow x_0)\\ \Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0\\ \Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{o(g(x))}{g(x)}=0 $$

2.若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=C$（常数），称$f(x)$是$g(x)$的同阶无穷小量。记作$f(x)$~$ Cg(x)$

3.若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$，称$f(x)$是$g(x)$的同阶无穷小量。记作：$f(x)$~$ g(x)$

4.若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{(x-x_0)^k}=C(k>0,k为常数)$，称$f(x)$当$x\rightarrow x_0$时是$(x-x_0)$的$k$阶无穷小量

$\Leftarrow\Rightarrow $ $f(x) $~$ C()$

（五）等价量

（1）概念

1.若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac {f(x)}{g(x)}=1$，则称$f(x)$当$x\rightarrow x_0$时是$g(x)$的==等价量==，记作：

$$ f(x)\sim g(x) $$

2.若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=A(常)\neq 0$，则$f(x)\sim A(x\rightarrow x_0)$。

（2）等价量替换定理

$$ 若x\rightarrow x_0时，f(x)\sim f_1(x),g(x)\sim g_1(x),h(x)\sim h_1(x)\\ 且\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f_1(x)g_1(x)}{h_1(x)}=A(\infin)(不存在)\\ 则\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)g(x)}{h(x)}=A(\infin)(不存在) $$

在求分式极限的过程中，可以把分子、分母中的因式，用它们中的等价量替代，则极限不变。只需把分子、分母中复杂的因式替换即可。

特别注意**：分子、分母中加减的项不能替换。

特别注意：等加量替换只能用于分式求极限。

五、判断函数极限存在准则

以$x \rightarrow x_0$为例。

（一）夹逼定理

若$\exist \delta_0>0$，当$0<\mid x-x_0 \mid<\delta_0$时，都有$f(x)\leq h(x)\leq g(x)$，且$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=A$，则$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} h(x)=A$。

（二）函数极限的单调有界定理

六、两个重要极限

（一）$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} =1$

在推导该极限的过程中，我们有一个重要的不等式：$\sin x<x$，我们可以将其推广到：

$$ \mid \sin x\mid\leq \mid x\mid。 $$

（二）$\lim\limits_{x\rightarrow \infin}(1+\frac{1}{x})^x=e$

令$t=\frac{1}{x}$，则上式可转换为：

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e $

即：当$x\rightarrow x_0$，如果$f(x)\rightarrow 0$，则有

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+f(x))^{\frac{1}{f(x)}}=e $，属于$1^{\infin}$型。

从而有重要的等价无穷小量：

当$x\rightarrow x_0$时

$$ \sin x \sim x,\\\tan x\sim x,\\1-\cos x\sim \frac{x^2}{2} $$

附录：概念的明确

$$ x\rightarrow x_0\quad\quad\exist\delta>0,当0<\mid x-x_0\mid<\delta\\ x\rightarrow x_0^-\quad\quad\exist\delta>0,当x_0-\delta <x<x_0\\ x\rightarrow x_0^+\quad\quad\exist\delta>0,当x_0 <x<x_0+\delta\\ x\rightarrow +\infin\quad\quad\,\exist X>0,当x>X\\ x\rightarrow -\infin\quad\quad\,\exist X>0,当x<-X\\ x\rightarrow \infin\quad\quad\,\exist X>0,当\mid x\mid>X\\ n\rightarrow \infin\quad\quad\,\exist N，当n>N $$

我们说$f(x)$当$x\rightarrow x_0$时极限存在，指的是$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=A(常)$

而$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=\infin$属于极限不存在，但是有个趋势，给它一个记号。这与$\lim\limits_{x\rightarrow +\infin} \sin x$是有区别的，它没有趋势。